数电复习（一）

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数电复习

记录一下复习数电的过程。

第一章 数制与码制 ​

常用的数制：十进制、二进制、八进制、十六进制

任意进制（N进制）数展开成十进制数公式

D=∑kiNiD = \sum k_i N^i

kik_i 是第 ii 位的系数

(101.11)2=1×22+0×21+1×20+1×2−1+1×2−2=(5.75)10\begin{aligned} (101.11)_2 &= 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}\\ &=(5.75)_{10} \end{aligned}

十进制（Decimal）二进制（Binary）八进制（Octal）十六进制（Hexadecimal）
000000000
010001011
020010022
030011033
040100044
050101055
060110066
070111077
081000108
091001119
10101012A
11101113B
12110014C
13110115D
14111016E
15111117F

数制转换 ​

十进制转换成二进制

除二取余（整数部分）、乘二取整（小数部分）

二进制转换为十六进制

4位二进制数看作一个整体，用一位等值的十六进制数替代

十六进制转换为二进制

将每一位十六进制数用等值的4位二进制数替代

二进制转换为八进制

3位二进制数看作一个整体，用一位等值的八进制数替代

八进制转换为二进制

将每一位八进制数用等值的3位二进制数替代

反码、补码和补码运算 ​

二进制 NN 的反码 (N)INV(N)_{INV} 定义

(N)INV={NN>0(2n−1)−NN<0(N)_{INV} = \begin{cases} N & N > 0 \\ (2^n -1) - N & N < 0 \end{cases}

将N中每一位的1改为0、0改为1，就得到反码，符号位除外

二进制负数的补码等于它的反码加1

十进制数二进制原码二进制反码二进制补码
+7011101110111
+6011001100110
+5010101010101
+4010001000100
+3001100110011
+2001000100010
+1000100010001
+0000000000000
-1100111101111
-2101011011110
-3101111001101
-4110010111100
-5110110101011
-6111010011010
-7111110001001
-8100011111000

规定用1000作为-8的补码，而不用来表示-0

用二进制补码运算时要舍弃产生的进位。

竖式运算二进制补码运算竖式运算二进制补码运算
+13
+10		0 01101
0 01010		+13
-10		0 01101
1 10110
+230 10111+3(1)0 00011
-13
+10		1 10011
0 01010		-13
-10		1 10011
1 10110
-31 11101-23(1)1 01001

几种常见的编码 ​

种类8421码(BCD代码)余3码2421码5211码余3循环码格雷码
00 0 0 00 0 1 10 0 0 00 0 0 00 0 1 00000
10 0 0 10 1 0 00 0 0 10 0 0 10 1 1 00001
20 0 1 00 1 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 10011
30 0 1 10 1 1 00 0 1 10 1 0 10 1 0 10010
40 1 0 00 1 1 10 1 0 00 1 1 10 1 0 00110
50 1 0 11 0 0 01 0 1 11 0 0 01 1 0 00111
60 1 1 01 0 0 11 1 0 01 0 0 11 1 0 10101
70 1 1 11 0 1 01 1 0 11 1 0 01 1 1 10100
81 0 0 01 0 1 11 1 1 01 1 0 11 1 1 01100
91 0 0 11 1 0 01 1 1 11 1 1 11 0 1 01101
权8 4 2 12 4 2 15 2 1 1

格雷码最大的优点在于当它按照编码顺序一次变化时，相邻两个代码之间只有一位发生变化。这样在代码转换的过程中就不会产生过渡“噪声”。

第二章 逻辑代数基础 ​

三种基本运算：与（AND）、或（OR）、非（NOT）

与运算：Y=A⋅BY=A \cdot B

或运算：Y=A+BY=A + B

非运算：Y=A′Y=A'

异或运算：Y=A⊕B=A⋅B′+A′⋅BY=A \oplus B = A \cdot B' + A' \cdot B

同或运算：Y=A⊙B=A⋅B+A′⋅B′Y=A \odot B = A \cdot B + A' \cdot B'

基本公式和常用公式 ​

序号公式序号公式
10⋅A=00 \cdot A = 0101′=0;0′=11'=0;0'=1
21⋅A=A1 \cdot A = A111+A=11+A = 1
3A⋅A=AA \cdot A = A120+A=A0+A = A
4A⋅A′=0A \cdot A' = 013A+A=AA + A= A
5A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A14A+A′=1A + A' = 1
6A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅CA \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C15A+B=B+AA + B = B + A
7A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C16A+(B+C)=(A+B)+CA + (B + C) = (A + B) + C
8(A⋅B)′=A′+B′(A \cdot B)' = A' + B'17A+B⋅C=(A+B)⋅(A+C)A + B \cdot C = (A + B) \cdot (A + C)
9(A′)′=A(A')' = A18(A+B)′=A′⋅B′(A + B)' = A' \cdot B'

公式（8）和公式（18）是德摩根定理，也称为反演率。

序号公式
21A+A⋅B=AA + A \cdot B = A
22A+A′⋅B=A+BA + A' \cdot B = A + B
23A⋅B+A⋅B′=AA \cdot B + A \cdot B' = A
24A⋅(A+B)=AA \cdot (A + B) = A
25A⋅B+A′⋅C+B⋅C=A⋅B+A′⋅CA \cdot B + A' \cdot C + B \cdot C = A \cdot B + A' \cdot C
A⋅B+A′⋅C+BCD=A⋅B+A′⋅CA \cdot B + A' \cdot C + BCD = A \cdot B + A' \cdot C
26A⋅(A⋅B)′=A⋅B′;A′⋅(AB)′=A′A \cdot (A \cdot B)' = A \cdot B'; A' \cdot (AB)' = A'

21：A+A⋅B=A(1+B)=AA + A \cdot B = A(1 + B) = A

22：A+A′⋅B=(A+A′)⋅(A+B)=A+BA + A' \cdot B = (A + A') \cdot (A + B) = A + B

23：A⋅B+A⋅B′=A(B+B′)=A⋅1=AA \cdot B + A \cdot B' = A(B + B') = A \cdot 1 = A

24：A⋅(A+B)=A⋅A+A⋅B=A+A⋅B=A⋅(1+B)=AA \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B = A + A \cdot B = A \cdot (1 + B) = A

25：

A⋅B+A′⋅C+B⋅C=A⋅B+A′⋅C+B⋅C(A+A′)=A⋅B+A′⋅C+A⋅B⋅C+A′⋅B⋅C=A⋅B⋅(1+C)+A′⋅C⋅(1+B)=A⋅B+A′⋅C\begin{aligned} A \cdot B + A' \cdot C + B \cdot C &= A \cdot B + A' \cdot C + B \cdot C(A + A')\\ &= A \cdot B + A' \cdot C + A \cdot B \cdot C + A' \cdot B \cdot C\\ &= A \cdot B \cdot (1 + C) + A' \cdot C \cdot (1 + B)\\ &= A \cdot B + A' \cdot C \end{aligned}

26：A⋅(A⋅B)′=A⋅(A′+B′)=A⋅A′+A⋅B′=A⋅B′A \cdot (A \cdot B)' = A \cdot (A' + B') = A \cdot A' + A \cdot B' = A \cdot B'

​ A′⋅(AB)′=A′⋅(A′+B′)=A′⋅A′+A′⋅B′=A′+A′⋅B′=A′(1+B′)=A′A' \cdot (AB)' = A' \cdot (A' +B') = A' \cdot A' + A' \cdot B' = A' + A' \cdot B' = A'(1 + B') = A'

基本定理 ​

代入定理：在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。

反演定理：对于任意一个逻辑式YY，若将其中所有的“ ⋅\cdot ”换成“ + ”，“ + ”换成“ ⋅\cdot ”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y′Y'。

对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等

对于任何一个逻辑式YY，若将其中的“ ⋅\cdot ”换成“ + ”，“ + ”换成“ ⋅\cdot ”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式YDY^D，这个YDY^D 就称为YY的对偶式，或者说它们互为对偶式。

逻辑函数的两种标准形式 ​

最小项和最大项

最小项使最小项为1的变量取值对应的十进制数编号
A       B       CA\ \ \ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ \ \ C
A′B′C′A'B'C'0        0        00\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 00m0m_0
A′B′CA'B'C0        0        10\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 11m1m_1
A′BC′A'BC'0        1        00\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 02m2m_2
A′BCA'BC0        1        10\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 13m3m_3
AB′C′AB'C'1        0        01\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 04m4m_4
AB′CAB'C1        0        11\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 15m5m_5
ABC′ABC'1        1        01\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 06m6m_6
ABCABC1        1        11\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 17m7m_7
最大项使最大项为0的变量取值对应的十进制数编号
A       B       CA\ \ \ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ \ \ C
A+B+CA + B + C0        0        00\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 00M0M_0
A+B+C′A + B + C'0        0        10\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 11M1M_1
A+B′+CA + B' + C0        1        00\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 02M2M_2
A+B′+C′A + B' + C'0        1        10\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 13M3M_3
A′+B+CA' + B + C1        0        01\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 04M4M_4
A′+B+C′A' + B + C'1        0        11\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ 15M5M_5
A′+B′+CA' + B' + C1        1        01\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 06M6M_6
A′+B′+C′A' + B' + C'1        1        11\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 17M7M_7

最大项和最小项存在的关系：Mi=mi′M_i = m_i'

逻辑函数的最小项之和形式

Y=ABC′+BC=ABC′+(A+A′)BC=ABC′+ABC+A′BC=m3+m6+m7=∑m(3,6,7)\begin{aligned} Y &= ABC' + BC \\ &= ABC' + (A + A')BC\\ &= ABC' + ABC + A'BC\\ &= m_3 + m_6 + m_7\\ &= \sum m(3,6,7) \end{aligned}

首先将给定的逻辑函数式化为若干乘积项之和的形式，然后再利用基本公式A+A′=1A + A' = 1将每个乘积项中缺少的因子补全，即可将与或的形式化为最小项之和的标准形式

逻辑函数的最大项之积形式

Y=A′B+AC=(A′B+A)(A′B+C)=(A+B)(A′+C)(B+C)=(A+B+CC′)(A′+BB′C)(AA′+B+C)=(A+B+C)(A+B+C′)(A′+B+C)(A′+B′+C)=∏M(0,1,4,6)\begin{aligned} Y &= A'B + AC \\ &= (A'B + A)(A'B + C)\\ &= (A + B)(A' + C)(B + C)\\ &= (A + B + CC')(A' + BB' C)(AA' + B + C)\\ &= (A + B + C)(A + B + C')(A' + B + C)(A' + B' + C)\\ &= \prod M (0,1,4,6) \end{aligned}

首先我们把任何一个逻辑函数式化成若干多项式相乘的或与形式，然后再利用基本公式AA′=0AA' = 0将每个多项式中缺少的变量补齐，就可以将函数式的或与形式化成最大项之积的形式

逻辑函数的化简方法 ​

公式化简法

卡诺图化简法

Gemini使用技巧
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